Mécalab et Micropix : simulation, pointage expérimental de grande précision et analyse avancée
du mouvement de points matériels

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Introduction

Les procédures Mecalab et Micropix présentées ici rendent l'étude du mouvement d'un point matériel, ou de plusieurs points particuliers d'un solide ou d'un système déformable, considérablement plus rapide et d'une précision améliorée de plusieurs ordres de grandeur par rapport à ce qu'il est classiquement possible de faire.

Lien vers l'ancienne page Mecalab.
Lien vers la procédure simplifiée Micromeca.

Historiquement, les moyens pédagogiques pour les travaux pratiques de mécanique ont été l'enregistrement de mouvements de mobiles autoporteurs sur coussin d'air, avec des étincelles électriques qui laissent une trace noire sur un papier spécial à intervalles de temps réguliers.

Il est alors possible, à partir de 2 points Ai et Ai+2 de la trajectoire (i est un indice qui repère un point sur la trajectoire), de construire à la règle le vecteur déplacement du point matériel $\overrightarrow{\mathrm{A<span\; class="indicem">i</span>A<span\; class="indicem">i+2</span>}}$ , et d'en déduire la vitesse de ce point matériel en multipliant le vecteur déplacement par $\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2<mo>\; \cdot \; </mo>\Delta t}}$ où Δt est la durée entre 2 étincelles :

$\overrightarrow{\mathrm{V<span\; class="indicem">i+1</span>}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2<mo>\; \cdot \; </mo>\Delta t}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A<span\; class="indicem">i</span>A<span\; class="indicem">i+2</span>}}$

Il est ensuite possible de construire avec une règle et un compas la variation du vecteur vitesse $\overrightarrow{\mathrm{\Delta V<span\; class="indicem">i</span>}}=\overrightarrow{\mathrm{V<span\; class="indicem">i+1</span>}}-\overrightarrow{\mathrm{V<span\; class="indicem">i-1</span>}}$ et d'en déduire l'accélération du point matériel :

$\overrightarrow{\mathrm{a<span\; class="indicem">i</span>}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2<mo>\; \cdot \; </mo>\Delta t}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Delta V<span\; class="indicem">i</span>}}$

Le caractère pédagogique de ces constructions à la règle et au compas est indéniable, mais la précision en direction et en valeur est catastrophiquement mauvaise.

Les mobiles autoporteurs sur coussin d'air permettaient d'étudier un mouvement rectiligne uniforme lorsque la table est horizontale et que les frottements sont négligeables sur un parcours de l'ordre du mètre.

On pouvait également illustrer le mouvement du centre de masse (centre de gravité) lorsque la table est inclinée et voir le lien entre l'intensité de la pesanteur g, l'inclinaison de la table et l'accélération $\overrightarrow{\mathrm{a<span\; class="indicem">i</span>}}$ du mobile.

Il était également possible de vérifier la conservation de la quantité de mouvement totale $\overrightarrow{\mathrm{p<span\; class="indicem">i</span>}}=\mathrm{m}\cdot \overrightarrow{\mathrm{V<span\; class="indicem">i</span>}}$ dans le cas de choc élastique ou inélastique entre 2 mobiles autoporteurs sur une table horizontale. Les mobiles peuvent rester collés l'un à l'autre , ou non, après le choc.

Il est également possible de construire les positions successives du centre de masse des deux mobiles.

La possibilité d'enregistrer simplement une vidéo à cadence fixe a remplacé la table et les mobiles autoporteurs. A la précision près du pointage à la souris sur l'écran et moyennant un étalonnage des longueurs, le traitement pour obtenir la vitesse et l'accélération se fait sans ajouter d'imprécision. Le plus souvent, les constructions vectorielles sont automatiques, d'où la perte du caractère pédagogique qu'il y avait avec la règle et le compas.

Mecalab et Micropix

Mecalab réconcilie le caractère pédagogique de la construction vectorielle et la précision inhérente au calcul sur ordinateur.

Micropix permet d'obtenir une précision de pointage jusque-là inégalée avec une souris et un écran d'ordinateur.

La construction ci-dessous, associant le pointage d'une vidéo 3328 pixels par 2496 pixels avec Micropix et le traitement avec Mecalab (version 08 : plusieurs trajectoires expérimentales et plusieurs trajectoires calculées, avec possibilité de sauvegarde et de reprise des constructions vectorielles) donne une incertitude relative qui peut être réduite à 0,54% sur l'accélération d'un projectile, ici une bille en acier. Cette détermination aussi précise de l'accélération nécessite une précision absolue sur la position du centre de masse du projectile de l'ordre de 2 centièmes de millimètre (20 µm) pour un déplacement sur une aire de l'ordre d'un mètre carré. Micropix donne accès à cette précision par moyennage des positions des pixels qui correspondent au projectile, sélectionnés automatiquement par couleurs voisines.

Prise en main de Micropix

Téléchargement : Micropix en langage C++ compilé et Mecalab version 05 (1 trajectoire expérimentale pointée + 1 trajectoire calculée avec un solveur Runge-Kutta 3D), éditable et exécutable avec l'interpréteur Edupython :

Exécutable micropix.exe avec les photos du mouvement de la bille 1920px x 1080px + Mécalab 05 dans le dossier "donnees" (180 Mo). Ce dossier contient également le résultat attendu avec Micropix, renommé avec le suffixe "_ok.txt" qu'il suffit de retirer pour faire directement l'analyse avec Mecalab, et court-circuiter le travail avec Micropix.

Exécutable micropix.exe sans les photos du mouvement de la bille (12,0 Mo).

Ces téléchargements ".zip" doivent être décompressés et on doit laisser les ".dll" et les autres fichiers dans le dossier décompressé.

Prise en main de Mecalab

Les scripts Mecalab s'exécutent sans aucune installation particulière dans un interpréteur Python. Les tests ont été faits avec l'interpréteur Edupython (gratuit): https://edupython.tuxfamily.org/

Téléchargement : Mecalab version 08 avec le résultat du pointage 3328px par 2496px par Micropix. Lancer "mecalab_08_appli_001.py" dans Edupython et cliquer sur le bouton "Ouvrir mcb_nn.txt" (1) pour ouvrir dans Mecalab le fichier de constructions vectorielles "mcb_1.txt". Note : le bouton "Enregistrer mcb_nn+1.txt" enregistre les nouvelles constructions vectorielles dans le fichier "mcb_2.txt" et ainsi de suite, sans écraser le fichier précédent, aussi bien pour les trajectoires expérimentales que les trajectoires calculées.

Téléchargement : Mecalab 08 avec la trajectoire obtenue avec Micropix 3328px par 2496px (44 ko)

Ce document très utile rappelle toutes les commandes de sélection pour les constructions vectorielles.

Ce document décrit les calculs effectués par Mecalab (fonctionnement du programme).

Pour aller plus loin avec Mecalab (projections, composantes radiales et orthoradiales, moment cinétique, moment d'une force, lois de Kepler) :

Texte de la vidéo des autres fonctionnalités de Mécalab ainsi que les calculs détaillés.

Exemples, travaux pratiques

Ce dossier contient 4 exemples (ou travaux pratiques) avec Mecalab 08. Chaque TP contient le script Mecalab avec des paramètres appropriés, un énoncé pdf et "libreoffice", les divers fichiers annexes utiles.

TP n°1

Le premier TP permet, sur une trajectoire parabolique simulée par Mecalab 08, de prendre en main les constructions vectorielles et de se convaincre que les calculs sur les coordonnées des points et des vecteurs effectués par Mecalab sont très simples et qu'il n'y a rien de mystérieux par derrière. Mecalab ne doit pas être une boîte noire, mais un outil pour bien travailler. Dans un premier temps, on peut vérifier sur une trajectoire "parfaite" et simple, puisque calculée, que tout est conforme à ce qu'on peut attendre : les vecteurs déplacement, vitesse, variation du vecteur vitesse, accélération, tant du point de vue de leurs composantes x, y, (éventuellement z) que de celui de leur norme. Les lois de Newton sont parfaitements respectées. On vérifie en comparant ce que donne la calculatrice et ce que donne Mecalab que tout est mathématiquement exact.

On peut alors appliquer ceci à une trajectoire expérimentale issue d'une vidéo HD pointée et tirer des conclusions sur ce qui est conforme à ce qu'on attend et sur les écarts au modèle parfait.

On peut comparer enfin visuellement et numériquement les paramètres du mouvement expérimental et ceux d'une simulation ajustée pour correspondre au mieux à l'expérience.

TP n°2

Le système étudié est une masse suspendue à un fil (pendule pesant). Les principales constructions étant similaires au TP n°1, on peut étudier les propriétés de la tension du fil et la période des oscillations.

Mecalab permet ensuite de vérifier par projections vectorielles les propriétés de l'accélération normale et de l'accélération tangentielle.

On peut étudier enfin les grandeurs énergétiques du système.

TP n°3

Le système étudié est constitué de 2 billes projetées, interagissant par un fil élastique qui les relie. On vérifie au moyen d'une vidéo, suite à des constructions vectorielles avec Mecalab, la réciprocité des actions des 2 billes l'une sur l'autre (3ème loi de Newton).

Le mouvement de leur centre d'inertie (centre de gravité) est construit et étudié.

Des simulations sont effectuées pour des systèmes masse-ressort, masse-fil élastique et des systèmes dérivés du système Soleil-Terre en faisant varier les masses relatives.

TP n°4

On étudie le mouvement d'un palet (point matériel) qui glisse sans frottement sur le plateau d'un manège qui tourne. Dans le référentiel terrestre, le palet a un mouvement rectiligne uniforme (trajectoire verte) qui passe par le centre du manège. Pour un observateur lié au plateau du manège, le palet suit la trajectoire rouge. A tout instant, le palet est à la fois sur l'extrémité de la trajectoire verte et sur l'extrémité de la trajectoire rouge.

On peut construire pas après pas la trajectoire rouge en faisant glisser le palet d'un pas suivant la droite verte, et, simultanément, en faisant tourner le plateau d'un secteur angulaire. C'est une approche cinématique.

Une autre approche consiste à se placer, pour le calcul ou l'étude au moyen des lois de Newton, dans le référentiel non galiléen lié au plateau qui tourne. C'est une approche dynamique, basée sur l'effet des forces.

On a tous vécu l'expérience d'un virage serré pris un peu vite en voiture : tout se passe comme si une force nous plaquait contre la porte vers l'extérieur du virage. Cette force porte un nom : la force centrifuge, qui doit être prise en compte lorsqu'on étudie, au moyen des lois de Newton, le mouvement d'un objet dans un référentiel non galiléen (ici en rotation uniforme).

Une autre force doit être prise en compte si, en plus, l'objet étudié se déplace dans le référentiel non galiléen : la force de Coriolis. Cette force est, en particulier, prise en compte pour étudier le mouvement des masses d'air dans le référentiel terrestre dans les prévisions météorologiques : à l'échelle de la planète en une journée, le référentiel terrestre ne peut plus être considéré galiléen. Cette force entraîne souvent une "déviation vers la droite" dans l'hémisphère nord, et une "déviation vers la gauche" dans l'hémisphère sud.

Dans le cas du palet en mouvement sur le plateau du manège, la force centrifuge et la force de Coriolis doivent être prises en compte pour retrouver la trajectoire rouge, qui peut par ailleurs être construite graphiquement sans considération de forces et des lois de Newton.

Ces 2 forces d'inertie ont une expression simple, et ce TP permet d'étudier séparément ou simultanément leurs effets avec Mecalab. On s'attend à retrouver avec l'approche dynamique le même résultat qu'avec l'approche cinématique.

Ondes mécaniques

Ce résultat de simulation avec Mecalab 08 représente 80 masses, chacune reliée à ses voisines par des ressorts. On obtient un modèle d'une corde élastique sur laquelle une onde mécanique se propage. Le dessin est coupé en 2 pour gagner de la place. L'extrémité supérieure gauche est fixe et l'extrémité inférieure droite est libre. On voit que la réflexion de l'onde se fait sans inversion sur l'extrémité libre, et que la réflexion se fait avec inversion de l'onde sur l'extrémité fixe.

Ce dossier contient 4 exemples dont celui illustré ci-dessus, et dont une simulation avec une extrémité visqueuse (adaptée à l'impédance de la corde) qui absorbe l'onde : dans ce cas il n'y a pas de réflexion.



Ce dossier contient une version de mécalab 08 dont le format d'affichage est mieux adapté à la propagation d'une onde le long d'une corde. Le bouton "Trajectoire" permet de construire le vecteur vitesse pour la dernière masse à droite.

Les 5 cordes ci-dessous sont lestées par des masses de 1 kg (jaunes) et de 5 kg (rouges) avec une raideur de rappel de 100 N.m-1. Les extrémités gauches des cordes sont fixes, les extrémités droites sont libres pour les 4 dernières. La longueur de la corde est de 2 m, la distance entre deux masses est de 2,5 cm. La vitesse de propagation est de 0,25 m.s-1 pour les masses jaunes de 1 kg. La première corde subit un frottement visqueux à son extrémité droite pour éliminer la réflexion :





On observe un léger effet de dispersion avec les masses de 5 kg du fait du caractère discret des masses, comme dans un cristal, et de l'excitation qui n'est pas n'est pas monochromatique.



On observe des réflexions partielles au point de raccord des cordes lestées avec deux sortes de masses (1kg et 5 kg) :





Il est également possible de faire varier continûment la valeur des masses entre les 2 extrémités.

Le script Mecalab (mecalab_08son06.py) permet de créer le fichier son (.wav) correspondant à l'oscillation de la corde utilisée dans un instrument de musique. Le script Mecalab permet de choisir l'endroit où on pince la corde.






Une autre approche, dont un aperçu est montré ci-dessus, faisant l'hypothèse a priori qu'une perturbation sur une corde va donner naissance à 2 ondes progressives se propageant en sens inverses, est utilisée ici. Les calculs sont considérablement allégés du fait de cette hypothèse. La géométrie de la corde à chaque instant est donnée par la courbe noire. Un fichier son (.wav) peut être créé par le script Python pour entendre le timbre lié à chaque excitation particulière de la corde. Le lien ci-dessus donne accès aux procédures Python et à un pdf qui explique tout.

Oscillateur masse-ressort vertical couplé aux oscillations pendulaires latérales

Le lien suivant conduit à cette étude réalisée avec Mecalab.

Remarque sur les acquisitions vidéo

La précision de l'analyse d'une vidéo avec Micropix et Mecalab est telle que l'effet de balayage des lignes de pixels sur le capteur de la caméra est décelable : tous les pixels n'ont pas été capturés au même instant. Il en résulte une sous-estimation de l'accélération d'un objet qui s'élève, et une surestimation de l'accélération d'un objet qui descend. La courbe déduite de la vidéo 3328px par 2496px (trajectoire parabolique en haut de cette page) avec une obturation au 1/1000 ème de seconde le montre bien. Cette perturbation, dont l'origine est connue, peut être corrigée par un petit calcul sur les valeurs des coordonnées pointées avec Micropix.



La vidéo suivante, communiquée par "ike" sur le forum physique-chimie, illustre magnifiquement l'effet : https://www.youtube.com/watch?v=dNVtMmLlnoE

Mécalab 10

Mécalab 10 met en oeuvre la correction de rideau dont il est question juste au dessus (case à cocher dans la fenêtre Mécalab 10).

La précision obtenue sur l'accélération est alors tellement bonne qu'il est possible d'étudier les frottements de l'air, et la très légère diminution de l'énergie mécanique dans le cas d'une bille en acier projetée dans l'air. On trouve en particulier, sans aucun ajustement ad hoc, g = 9,8151 N.kg-1 pour l'intensité de la pesanteur.



Cette correction nécessite de bien connaître la vitesse de balayage du capteur qui sert à l'acquisition. Le lien ci-dessus explique comment déterminer en pratique cette vitesse, au moyen du dispositif ci-dessous :



Mécalab 10 permet également de reporter facilement un vecteur construit sur une trajectoire vers une autre trajectoire. Ceci est pratique pour vérifier expérimentalement la troisième loi de Newton avec le système à 2 billes reliées par un fil élastique et projectées dans l'air.

Comme Mécalab 8, Mécalab 10 peut tracer et exploiter le mouvement du centre de masse de plusieurs points matériels qui interagissent.

Mécalab 10 permet également de tracer le vecteur force expérimental, déduit de la construction de l'accélération, indépendamment du vecteur force qui peut servir de donnée au calcul de la trajectoire (ce deuxième vecteur force existe exclusivement dans le cas d'une trajectoire calculée, le premier vecteur force peut être tracé dans tous les cas).

Pour télécharger le TP 1 bille complet avec Mécalab 10. Pour télécharger le TP 2 billes complet avec Mécalab 10.

Le document suivant montre, sur une base expérimentale et par le calcul, que la 3ème loi de Newton, ou loi des actions réciproques, ou loi d'action-réaction est contenue dans l'énoncé de la 2ème loi pour le centre de masse. Cette 2ème loi est effectivement démontrée à partir de la 2ème loi pour un point matériel et de la 3ème loi.

Mécalab 11 : extension en 3 dimensions de Mécalab 10

Ces résultats de simulation avec Mecalab 11 montrent, sous 3 angles de vue différents, l'effet de la force de Coriolis et de la force centrifuge dans le référentiel terrestre, non galiléen. Il s'agit dans les trois cas d'un satellite dont l'orbite circulaire (dans le référentiel géocentrique supposé galiléen) passe au dessus du pôle nord et du pôle sud (départ du calcul au pôle sud). Les couleurs de la trajectoire indiquent dans quel demi-espace le satellite se trouve. Pour bien mettre en évidence cet effet, la vitesse de rotation de la Terre a, dans ces simulations, une valeur d'un tour en 1 heure au lieu d'un tour en 24 heures.

On obtiendrait le même résultat en dessinant un méridien sur une sphère en rotation autour de son diamètre : le crayon dessinerait sur la sphère une sorte de spirale sphérique entre le pôle sud et le pôle nord.

Les conventions d'angles se trouvent dans ce document pdf.

Les 3 procédures Python Mécalab 11 en 3D sont dans ce dossier zip.

Contact :

tuclic@yahoo.fr

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01/05/2022